Hoe reken je het M-k diagram voor een betondoorsnede uit?

Voor staal kan vrij rechtlijnig worden bepaald hoeveel een doorsnede doorbuigt, echter voor een betondoorsnede is dat een ander verhaal. Er is namelijk sprake van een vervormingsomstandigheid afhankelijk van de combinatie van beton met betonstaal (wapeningsstaal). Daarnaast treedt met de tijd eveneens kruip op. Hoe verhoudt het moment en de k-waarde voor vervorming zich bij een vloer en hoe kun je de M-k diagram zelf bepalen?

M-k diagram uitrekenen

• Bepaling van kw en kI (vervormingsfactoren)
• Mate van direct optredende elastische vervorming
• Uiterste vervorming en spanning kort- vs langdurig
• Uittekenen M-k diagram

Bepaling van kw en kI (vervormingsfactoren)

De mate van doorbuiging van een betondoorsnede wordt bepaald door de mate van wapening en hoe lang belasting op een constructie staat. Om de invloed daarvan te bepalen dienen de vervormingsfactoren kw en kI te worden bepaald. Afhankelijk van het wapeningspercentage kan er worden geïnterpoleerd. Voor de langdurige belasting is kruip afhankelijk van de volgende factoren:

Kruipcoëfficiënt φ;max

Tijdsspanne

De grootte van de elasticiteitsmodulus wordt afhankelijk gesteld van de tijdspanne, waaronder de doorsnede wordt belast:

• E’b∞ = E’b/(1+3/4*φ;max) = 28.500/(1+3/4*3,6) = 7.702 N/mm2;
• n;lang = 200.000/7.702 = 26, n;kort = 200.000/28.500 = 7.

Bij een kleine tijdsspanne heeft n een relatief kleine waarde, waarbij de invloed van de wapening op het kwadratisch oppervlak van de betondoorsnede minder is. Op basis van de kort en langdurige belasting kunnen de volgende kruipfactoren worden bepaald (kw=kI=1 bij n=0):

• w’0 = 0% met kw = 1,37 bij n =15 en kI = 1,78 bij n=70;
• w’0 = 1% met kw = 1,54 bij n=15 en kI = 2,46 bij n=70.

Tussen voorgaande waarden kan worden geïnterpoleerd. Wordt er een wapeningspercentage van w0 = 0,3 toegepast dan geldt voor de langdurige belasting n*w0 = 26*0,3 = 7,8 waarbij geldt:

• kw = [(1,54-1,37)*0,3+1,37-1]*7,8/15+1 = 1,21;
• kI = [(2,46-1,78)*0,3+1,78-1]*7,8/70+1 = 1,10.

Voor de kortdurende belasting geldt n*w0 = 7*0,3 = 2,1 en dat resulteert in:

• kw = [(1,54-1,37)*0,3+1,37-1]*2,1/15+1 = 1,06;
• kI = [(2,46-1,78)*0,3+1,78-1]*2,1/70+1 = 1,03.

Mate van direct optredende elastische vervorming

Stel je voor dat er sprake is van een vloer dik 280 mm, gemaakt van C25 beton en FeB500 wapeningsstaal, dan geldt:

• kh = 1,6 – 0,28 = 1,32;
• fbr = kh * f;bm = 1,32*2,3;
• M;rt(lang) = 1,2 * f;br * W * kw;lang = 1,2 * kh * f;bm * (1/6*b*h^2) * kw = 1,2*1,32*2,3*1/6*1000*280^2*1,21 = 57,6 kNm;
• EI∞ = E’b∞*kI*I = 7.702*1,10*(1/12*1000*280^3) = 15,5*10^12 Nmm2 = 15.500 kNm2;
• k;rt = M;rt/EI∞ = 57,6/15.500 = 3,71*10^(-3) m^(-1);
• M;r(kort) = 1,4 * f;br * W * kw;kort = 1,4*1,32*2,3*1/6*1000*280^2*1,06 = 55,5 kNm;
• EI;0 = 28.500*1,03*(1/12*1000*280^3) = 53,0*10^12 Nmm2 = 53.700 kNm2;
• kr = Mr/EI;0 = 55,5/53.700 = 1,03*10^(-3) m^(-1).

Uiterste vervorming en spanning kort- vs langdurig

Langdurige belasting op de uiterste vervorming voor betonstaal geldt het volgende:

• 1/2*b*x^2 = n * (d-x) * w0 * b * d / 100 bij d = 280-30 = 250 geldt;
• 1/2*1000*x^2 = 26 * (250 – x) * 0,3 * 1000 * 250 / 100 = 19.500*(250-x);
• 500*x^2 + 19.500 * x – 4.875.000;
• x = [ -19.500 + √(4*500*4.875.000)]/(2*500) = 79 mm (hoogte drukzone).

Maximale vervorming

Uitgaande van een maximale vervorming van het betonstaal Es = 2,5‰ is de betonvervorming E’b = 2,5‰*79/(250-79) = 1,15‰<0,72*f’ck/7702 = 0,72*25/7702 = 2,34‰. De maximale inwendige vervorming wordt niet behaald waardoor:

• M;et;kort = As*fs;rep*(d-1/3*x) = 0,3*1000*250/100*500*(250-1/3*79) = 83,9 kNm;
• k;et = 2,5*10^(-3) / (250-79) = 14,6*10^(-3) m^(-1).

Korte belasting

Bij kortdurende belasting geldt echter het volgende:

• 1/2*1000*x^2 = 7 * (250 – x) * 0,3 * 1000 * 250 / 100 = 5.250*(250-x);
• 500*x^2 + 5.250 * x – 1.312.500 = 0;
• x = [ -5.250 + √(4*500*1.312.500)]/(2*500) = 46 mm;
• E’b = 2,5‰*46/(250-46) = 0,56‰<2,34‰;
• Me = 750*500*(250-1/3*46) = 88 kNm;
• ke = 2,5*10^(-3) / (250-46) = 12,2 * 10^(-3) m^(-1).

Uittekenen M-k diagram

Door het uitzetten van voorgaande momenten gerelateerd aan de vervormingscoëfficiënten k ontstaat de getekende grafiek. Indien de vloerdoorsnede 280 mm dik met 0,3% wapening vol wordt belast dan kan op basis van de bijbehorende k-waarden worden voorspelt hoeveel de vloer gaat doorbuigen. Daarbij kan onderscheid worden gemaakt tussen kruip, direct optredende, bijkomende en uiteindelijke doorbuiging.

Lees verder

• Hoe reken je een betonnen balk door?
• Hoe reken je een betonvloer uit?
• Hoe wordt een T-balk binnen een betonvloer uitgerekend?
• Buiging betonvloer: hoeveel buigt een gewapende vloer door?
• Hoe reken je de doorbuiging van een betonnen balk door?